Elastisitas

A.      Elastisitas

Kebanyakan dari gaya sehari-hari yang kita amati pada benda-benda makroskopik adalah gaya kontak yang dikerjakan pegas, tali dan permukaan yang kontak langsung dengan benda. Gaya-gaya ini adalah hasil gaya molekuler yang dikerjakan molekul-molekul sebuah benda pada molekul di benda lain. Gaya molekuler ini sendiri adalah perwujudan yang rumit dari gaya eletro magnetik dasar.

Sebuah pegas dibuat dengan cara melilitkan kawat yang kaku menjadi sebuah kumparan adalah alat yang lazim. Gaya yang dikerjakan oleh pegas jika ia ditekan atau direnggangkan adalah hasil dari gaya intermolekuler yang rumit didalam pegas, tetapi gambaran empiris tentang perilaku makroskopis pegas adalah cukup untuk kebanyakan terapan. Jika pegas ditekan atau diregangkan kemudian dilepas, pegas kembali ke panjang asal atau alamiahnya, jika perpindahannya tidak terlalu besar. Ada suatu batas untuk perpindahan itu, di atas nilai itu pegas tidak kembali ke panjang semulanya tetapi tinggal secara permanen dalam keadaan yang telah berubah. Jika kita hanya membolehkan perpindahan di bawah batas ini, kita dapat mengkalibrasi peregangan atau penekanan itu. Secara eksperimen ditemukan bahwa untuk  yang kecil, gaya yang dikerjakan oleh pegas mendekati sebanding dengan  dan dalam arah berlawanan. Hubungan ini dikenal dengan Hukum Hooke yang dapat ditulis

dengan konstanta k disebut konstanta gaya pegas. Jarak x adalah koordinat ujung bebas pegas atau tiap benda yang diikatkan pada ujung pegas tersebut. Konstanta  adalah nilai koordinat ini jika pegas tidak diregangkan dari posisi kesetimbangannya. Terdapat tanda negatif karena jika pegas diregangkan  positif), gaya negatif, sedangkan jika pegas ditekan ( negatif),  positif. Gaya semacam itu dinamakan gaya pemulih,karena gaya ini cenderung memulihkan pegas ke konfigurasi awalnya.

Gaya yang dikerjakan oleh pegas serupa dengan gaya yang dikerjakan oleh satu atom pada atom lain pada sebuah molekul atau dalam zat padat dalam arti bahwa, untuk perpindahan yang kecil dalam kesetimbangan, gaya pemulih sebanding dengan perpindahan. Seringkali berguna untuk memvisualisasi atom-atom dalam sebuah molekul atau zat padat seperti atom-atom yang dihubungkan oleh pegas.

Jika kita menarik sebuah tali yang fleksibel, tali meregang sedikit dan menarik kembali dengan gaya yang sama tetapi berlawanan (kecuali tali putus). Kita dapat membayangkan tali sebagai pegas dengan konstanta gaya yang sedemikian besarnya hingga perpanjangan tali diabaikan. Namun karena tali fleksibel, kita tidak dapat mengerjakan gaya tekan padanya. jika kita mendorong sebuah tali tali hampir tidak melentur atau melengkung.

Jika sebuah benda padat berada dalam keadaan setimbang tetapi dipengaruhi gaya-gaya yang berusaha menarik, menggeser, atau menekannya, maka bentuk benda itu akan berubah. Jka benda kembali ke bentuknya semula bila gaya-gaya dihilangkan, benda dikatakan elastik. Kebanyakan benda adalah elastik terhadap gaya-gaya sampai ke suatu batas tertentu yang dinamakan batas elastik. Jika gaya-gaya terlalu besar dan batas elastik terlampaui benda tidak kembali ke bentuk semula, tetapi secara permanen berubah bentuk.

Jika sebuah elemen batang tegar denga panjang L ditarik oleh suatu gaya F ke kanan dan gaya yang sama tetapi belawanan arah ke kiri berada dalam keadaan setimbang, maka gaya-gaya yang bekerja padanya oleh elemen-elemen di sampingnya ke kanan harus menyamai gaya-gaya yang dikerjakan oleh elemen-elemen tetangga ke kiri. Jika elemen tidak terlalu dekat dengan ujung batang, maka gaya-gaya itu akan didistribusi secara uniform pada luas penampang batang. Rasio gaya F  terhadap luas penampang A dinamakan tegangan tarik:

Gaya-gaya yang dikerjakan pada batang berusaha meregangkan batang. Perubahan fraksional pada panjang batang  dinamakan regangan:

Rasio tegangan terhadap regangan adalah konstanta yang dinamakan modulus Young Y

Satuan modulus Young adalah newton per meter persegi.

B.      Gerak Harmonik Sederhana

Satu macam gerak osilasi yang lazim dan sangat penting adalah gerak harmonik sederhana. Apabila sebuah benda disimpangkan dari kedudukan setimbangnya gerak harmonik sederhana akan terjadi seandainya ada gaya pemulih yang sebanding dengan simpangan dan kesetimbangannya kecil.

Suatu sistem yang menunjukan gerak harmonik sederhana adalah sebuah benda yang tertambat ke sebuah pegas. Pada keadaan setimbang pegas tidak mengerjakan gaya pada benda. Apabila benda disimpangkan dari keadaan setimbangnya, pegas mengerjakan gay a seperti yang diberikan oleh hukum Hooke

Tanda minus pada hukum Hooke timbul karena gaya pegas ini berlawanan arah dengan simpangan. Jika kita memilih x-positif untuk simpangan ke kanan, maka gaya bernilai negatif (ke kiri) bila x positif dan positif (ke kanan) bila x negatif. Dengan menggabungkan persamaan di atas dengan hukum kedua Newton, kita mendapatkan

atau

Percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. Hal ini merupakan karakteristik umum gerak harmonik sederhana dan bahkan dapat digunakan untuk mengidentifikasi sistem-sistem yang dapat menunjukan gejala gerak harmonik sederhana.

Syarat gerak harmonik sederhana : Bila percepatan sebuah benda berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan, benda itu akan bergerak dengan gerak harmonik sederhana.

Jika kita menyimpangkan sebuah benda dari kesetimbangannya dan melepaskannya, benda itu akan berisolasi bolak-balik di sekitar kedudukan setimbang. Waktu bagi benda untuk melakukan satu isolasi penuh disebut periode T. Kebalikan periode disebut frekuensi f, yang merupakan banyaknya osilasi setiap detik.

Satuan frekuensi adalah kebalikan sekon ) yang disebut Hertz (Hz).

Untuk benda yang berosilasi simpangan x sebagai fungsi terhadap waktu t diperoleh lewat percobaan. Misalnya, sebatang pena dipasang pada benda yang tertambat ke pegas vertikal dan atur sedemikian rupa sehingga pena dapat menulis di atas secarik kertas yang dapat digerakan tegak lurus terhadap arah osilasi. Kemudian benda itu kita simpangkan sejauh A dan kertas kita tarik ke kiri dengan laju konstan sewaktu kita melepaskan benda. Pena itu akan merunut sebuah kurva sinusoidal. Persamaan kurva tersebut adalah

dengan A, , dan  merupakan konstanta. Berdasarkan definisi, gerak dengan perubahan posisi terhadap waktu menurut persamaan tersebut disebut gerak harmonik sederhana. Perhatikan bahwa . Apakah persamaan diungkapkan sebagai fungsi kosinus maupun sinus semata-mata bergantung pada kapan kita memilih t = 0. Simpangan maksimun dari kesetimbangan disebut amplitudo A. Argumen fungsi kosinus, , disebut fase gerak, dan konstanta  disebut konstanta fase. Selama satu siklus gerak penuh, fase bertambah sebesar 2π. Pada akhir siklus benda memiliki posisi dan kecepatan yang sama lagi, seperti yang dimiliki pada permulaan siklus karena . Kita dapat menentukan periode T dari kenyataan bahwa fase pada waktu t + T tidak lain adalah  ditambah fase pada waktu t :

atau

sehingga

Konstanta  disebut frekuensi sudut. Besaran itu memiliki satuan radian per sekon dan berdimensi kebalikan waktu, sama seperti kecepatan sudut, yang juga dinyatakan dengan . Dalam frekuensi atau periode, persamaan  dapat ditulis sebagai:

Konstantan  bergantung pada kapan kita memilih . Jika kita memilih  ketika , konstanta fase nol dan . Di lain pihak, jika kita memilih  ketika ,  akan bernilai  atau , bergantung pada apakah x naik atau turun pada . Misalnya, jika x naik pada  maka  dan

Hubungan umum antara posisi awal  dan konstanta A dan  diperoleh dengan menetapkan  pada persamaan . Maka

Kita dapat menunjukkan bahwa x seperti yang diberikan oleh persamaan  merupakan penyelesaian dari  dengan mendiferensiasi x dua kali. Turunan pertama dari x terhadap waktu memberikan kecepatan v:

Fase kecepatan berbeda dengan fase posisi sebesar . Apabila  memiliki nilai + 1 atau – 1, maka . Bila x berada pada nilai maksimum atau minimumnya, maka kecepatannya nol. Denga cara yang sama, bila   bernilai + 1 atau – 1, maka . Kecepatan bernilai maksimum ketika benda melewati posisi kesetimbangan . Kita dapat menghubungkan kecepatan awal  ke konstanta A dan  dengan mencapai  dari  kita peroleh

Dengan mendiferensialkan kecepatan terhadap waktu diperoleh percepatan benda:

Atau

Apabila kita bandingkan persamaan ini dengan  untuk massa pegas, kita lihat bahwa  merupakan penyelesaian dari  jika frekuensi sudut  berhubungan dengan konstantan pegas k dan massa m melalui

Frekuensi dan periode massa pada pegas dengan demikian berhubungan ke konstanta gaya k dan massa m melalui