Kalkulus dalam Mekanika

Bab I Pendahuluan

1. Latar Belakang

Beberapa orang percaya bahwa matematika merupakan induk dari segala ilmu. Hampir setiap permasalahan baik yang accountable maupun yang bersifat predictable mampu dipecahkan. Setiap permasalahan dicari solusinya menggunakan rumusan dan notasi tertentu. Misal masalah statistik, peluruhan, pertumbuhan penduduk, dan lain-lain.

Berakar dari fakta tersebut maka keberadaan matematika sangat cocok dikombinasikan dengan ilmu pengetahuan lainnya. Contoh, digabungkan dengan ekonomi, ilmu hisab, ilmu astronomi, fisika, biologi, dsb. Masalah yang terdapat dalam kajian (disiplin) ilmu-ilmu menjadi lebih mendekati kearkuratannya jika kita menggunakan perhitungan matematika. Menggunakan metode ini memang sedikit lebih sulit karena menyangkut perhitungan, bahkan pada masyarakat tertentu hal-hal yang bersifat predictable kadang-kadang dipecahkan secara mistis, alih-alih matematika. Namun penggunaan matematika dalam ilmu-ilmu tersebut justru akan memberikan hasil yang lebih ilmiah dan logis.

Berkaitan dengan hubungan antara matematika dan ilmu pengetahuan lainnya, fisika memiliki hubungan yang tidak dapat terpisahakan dengan matematika. Keterkaitan itu ditunjukan dengan hampir setiap permasalahan fisika memerlukan pemecahan secara matematis. Hubungan yang erat itu juga ditunjukan oleh keterkaitan antara disiplin ilmu fisika-matematika, salah satunya mekanika-kalkulus. Persoalan mekanika bisa diselesaikan menggunakan kalkulus maupun konsep fisika itu sendiri. Bahkan pada subjek tertentu kita akan mampu memprediksikan sesuatu yang sulit menjadi lebih mudah ketika menggunakan kalkulus (misalnya: masalah kecepatan sesaat). Maka dari itu penulis terdorong untuk menyusun sebuah makalah yang berjudul Kalkulus dalam Mekanika.

2. Rumusan Masalah

1. Dalam hal apa saja hubungan kalkulus dengan mekanika?
2. bagaimanakah dalam penerapan hubungan tersebut?

3. Tujuan

1. Menjelaskan hubungan antara kalkulus dan mekanika;
2. Menjelaskan penerapan hubungan kalkulus dengan mekanika.

Bab II Pembahasan

Kalkulus dalam Mekanika

Mekanika bersasal dari bahasa Latin mechanicus, dari bahasa Yunani mechanikos, “Seseorang yang ahli di bidang mesin”. Mekanika adalah jenis ilmu khusus yang mempelajari fungsi dan pelaksanaan mesin, alat atau benda yang seperti mesin. Mekanika merupakan bagian yang sangat penting dalam ilmu fisika terutama ahli sains dan ahli teknik. Mekaika juga berarti ilmu pengetahuan yang mempelajari gerakan suatu benda, serta efek gaya dalam gerakan itu.

Mekanika terbagi ke dalam dua bagian, yakni kinematika dan dinamika. Kenematika ialah cara menyelidiki dan menyatakan gerak benda tanpa memandang sebab musababnya misalnya kelajuan, perpindahan, kecepatan dan percepatan. Sedangkan dinamika adalah adalah cabang ilmu mekanika yang mencari hubungan gaya dan gerak, atau dalam artian penyebab terjadinya suatu gerakan.

1. kecepatan

Untuk mempermudah pembahasan terlebih dahulu kita akan memperlakukan setiap benda sebagai sebuah titik. Sehingga posisinya dapat dengan mudah digambarkan atau dengan kata lain benda tersebut dianggap sebagai partikel. Dalam mengamati gerak sebuah partikel kita mencatat letak partikel sebagai sebuah fungsi. Berapa cepat letak benda berubah kita sebut kecepatan benda. Kita yatakan laju perubahan letak ini dalam dua pengertian yaitu kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Kecepatan benda dalam selang waktu tertentu ditulis

Kita sering ingin mengetahui nilai kecepatan pada suatu saat tertentu. kita perkecil terus hingga menjadi nol. Ini kita nyatakan secara kuantitatif, dengan mencarinya menggunakan kalkulus yakni limit dan turunan.

Atau yang lebih kita kenal dengan kecepatan sesaat. Jika kita gambarkan persamaan kecepatan sesaat maka akan terbentuk grafik

Kemiringan dapat positif (x bertambah) atau negatif (x berkurang); dengan demikian, dalam gerakan satu dimensi, kecepatan sesaat mungkin bernilai positif maupun negatif. Besarnya kecepatan sesaat dinamakan kelajuan sesaat.

2. Percepatan

Bila kecepatan sesaat sebuah partikel berubah seiring dengan berubahnya waktu, partikel dikatakan dipercepat. Percepatan rata-rata utuk suatu selang waktu tertentu  didefinisikan sebagai rasio, dengan  yang mengukur laju perubahan kecepatan terhadap waktu, yang dinyatakan dengan a. Jika kita buat mendekati nol maka akan diperoleh

,

berupa turunan kedua dari fungsi posisi dan turunan pertama kecepatan.

3. Kinematika Gerak

1. Gerak Vertikal

Jika sebuah benda dilemparkan ke atas (atau ke bawah) dari suatu ketinggian awal meter dengan kecepatan awal  m/s dan jika s adalah ketinggian dari permukaan tanah dalam meter setelah t second, maka: sebelum kita menyelesaikan permasalah tersebut kita bisa memilih cara yang akan digunakan. Karena permasalah itu bisa digunakan dengan rumus fisika maupun dengan persamaan kalkulus.

Jika kita menggunakan rumus fisika maka kita harus memasukan nilai nilai tersebut ke dalam:

Tentu ini akan lebih praktis ketimbang kita menggunakan pemecahan menggunakan kalkulus. Tetapi ini masalah selera, jika kita ingin menggunakan kalkulus kita bisa melakukannya dengan beberapa tahap. Yakni sebagai berikut:

Dalam percobaan di dapat bahwa sebuah benda yang jatuh kebawah dan dilempar ke atas akan mengalami percepatan masing masing -16 dan +16. tanda positif dan negative terjadi karena percepatan bumi selalu mengarah ke pusat bumi. Maka benda yang bergerak searah percepatannya akan bernilai positif sedangkan benda yang bergerak berlawanan arah akan mendapat percepatan negative (perlambatan). Sehingga

 atau untuk perpindahan yang sangat kecil karena benda bergerak keatas. selanjutnya kita ingin mengetahui kecepatan benda dengan cara mengintegralkan fungsi tersebut terhadap waktu dt

pada saat  maka nilai  sehingga fungsi kecepatan menjadi  

Masukan nilai percepatan yang kita punya kedalam persamaan

Untuk mencari ketinggian benda kita dapat mengintegralkannya kembali

Pengintegralan  karena  seperti yang didapat dari perhitungan merupakan nilai pasti (konstanta).

Pada saat   maka

Sehingga

Setelah mendapat persamaan yang diinginkan langkah selanjutnya adalah mensubtitusikan nilai-nilai yang diketahui.

2. Gerak Horizontal dengan Percepatan Nol

Jarak adalah kedudukan antara satu titik terhadap titik yang lain. Maka apabila suatu benda dengan kecepatan v sejajar dengan bidang datar hubungan antar parameternya adalah

t = waktu yang dibutuhkan untuk mencapai jarak x tadi. Bila dianggap kecepatan konstan, kita peroleh

 ,sehingga

, pada selang waktu yang sangat singkat persamaan tersebut menjadi

 , yang merupakan sebuah turunan fungsi jarak terhadap waktu.

Jarak tempuh benda selama selang waktu dt kita integralkan kecepatan terhadap waktu.

C1 dan C2 dicari dengan kondisi pembatas (pada saat t =0) x=0 karena belum terjadi perpindahan. Sehingga

4. Gaya dan Gerak (Dinamika)

1. Gaya

Gaya adalah suatu pengaruh pada sebuah benda yang menyebabkan benda dipercepat. Besarnya gaya diperoleh dari operasi perkalian antara massa benda dan percepatan yang dihasilkan gaya. Massa adalah sifat intrinsik sebuah benda yang mengukur resistansinya terhadap percepatan. Secara matematis hubungan antara massa, percepatan menurut hukum kedua Newton adalah

Penjumlahan gaya menggunakan prinsip penjumlahan vector, yakni i + j + k dan untuk mencari vector besarannya kita gunakan rumus

F_r = Resultan gaya

q = sudut apit antara kedua gaya

2. Gaya Pegas

Sistem pegas sederhana (lihat gambar) terdiri dari satu massa m yang digantung dari sebuah pegas dan pegas itu sendiri digantung vertikal dari suatu kedudukan. Sisitem ini berada dalam posisi kesetimbangan ketika dalam kondisi diam. Massa tersebut kemudian digerakan melalui salah satu atau lebih cara-cara berikut: memindahkan massa tersebut dari posisi kesetimbangannya, memberikan kecepatan awal, atau memberikannya suatu gaya F (t).

Hukum Hooke: Gaya pembalik F dari sebuah pegas adalah sebanding dan berlawanan dari gaya-gaya yang diberikan pada pegas-pegas tersebut dan proporsional terhadap perpanjangan (pengerutan) l dari pegas tersebut sebagai akibat dari gaya yang diberikan; artinya F = -kl, di mana k melambangkan konstanta proporsionalitas, yang umumnya disebut konstanta pegas.

Misalnya sebuah bola besi seberat 128 lb/ft digantung dari sebuah pegas, yang mengakibatkan pegas merenggang 2 ft dari panjang alaminya. Gaya yang mengakibatkan perpindahan sejauh 2 ft adalah berat dari bola tersebut, 128 lb. Jadi, F = -128 lb. Menurut hukum Hooke -128 = - k (2), atau k = 64 lb/ft.

Untuk memudahkan, kita memilih arah ke bawah sebagai arah positif dan menggunakan pusat gravitasi dari massa pada kondisi kesetimbangan sebagai titik nol. Kita asumsikan bahwa massa dari pegas itu sendiri sangat kecil sehingga dapat diabaikan dan bahwa hambatan udara, jika ada, adalah proporsional dengan kecepatan massa. Jadi, pada setiap waktu t, terdapat tiga gaya yang bekerja pada sistem: (1) F(t), yang diukur ke arah positif; (2) gaya pembalik yang diberikan oleh hukum Hooke sebagai F_s = - kx, k > 0; dan (3) suatu gaya yang disebabkan oleh hambatan udara yang diberikan oleh F_a = ax, a > 0, di mana a adalah konstanta proporsionalitas. Perhatikan bahwa gaya pembalik F_s selalu bekerja ke arah yang akan memberikan tendensi kepada sistem untuk kembali ke posisi kesetimbangan: jika massa berada di bawah kondisi kesetimbangan, maka x adalah positif dan – kx adalah negatif; sedangkan jika massa berada di atas posisi kesetimbangan, maka x adalah negatif dan – kx adalah positif. Perhatikan juga bahwa karena a > 0 gaya F_a yang disebabkan oleh hambatan udara bekerja ke arah yang berlawanan dari kecepatan sehingga memberikan tendensi untuk menghambat, atau meredam, gerakan massa.

Dengan demikian dari hukum II Newton , atau

.....(a)

jika sistem dimulai pada t = 0 dengan kecepatan awal v₀ dan dari posisi awal x₀, kita juga memiliki kondisi-kondisi awal

…..(b)

Gaya gravitasi tidak muncul secara eksplisit dalam (a), tetapi tetap ada. Kita telah mengkompensasi gaya ini dengan cara mengukur jarak dari posisi kesetimbangan pegas. Jika gravitasi ini ditampilkan secara eksplisit, maka jarak harus diukur dari titik bawah panjang alami pegas. Artinya, gerakan vibrasi pegas dapat dituliskan sebagai

Jika titik pusat, x = 0, adalah titik awal dari pegas sebelum massa m digantungkan.

3. Gaya Apung (Mekanika Fluida)

Perhatikan sebuah benda dengan massa m yang dicelupkan penuh atau sebagian dalam suatu cairan dengan massa jenis. Benda yang demikian mengalami dua gaya, gaya ke arah bawah yang disebabkan oleh gravitasi dan gaya penangkal yang diatur oleh:

Pinsip Archimedes: Suatu benda dalam cairan mengalami gaya apung ke atas yang setara dengan berat cairan yang dipindahkan oleh benda tersebut.

Kesetimbangan terjadi ketika gaya apung dari cairan yang dipindahkan memiliki besar yang sama dengan gaya gravitasi pada benda tersebut. Pada gambar ditunjukan situasi sebuh selinder dengan jari-jari r dan tinggi H dimana h unit dari tinggi selinder tersebut tercelup dalam kondisi kesetimbangan. Pada kondisi kesetimbangan, volume air yang dipindahkan oleh selinder adalah , yang memberikan gaya apung sebesar  yang harus sama dengan berat selinder . Jadi,

Pergerakan akan terjadi ketika selinder dipindahkan dari posisi kesetimbangannya. Secara sembarang kita mengambil arah ke atas sebagai arah positif x. Jika selinder terangkat keluar dari air sebeasar x(t) unit maka silinder tersebut tidak lagi berada dalam kesetimbangan. Gaya ke bawah atau negatif pada benda yang demikian tetap sebesar mg, tapi gaya apung atau positifnya berkurang menjadi. Menurut hukum kedua Newton

Jika persamaan pertama dimasukan ke dalam persamaan ini, kita dapat menyederhanakannya menjadi

, atau

4. Gerak Jatuh Bebas

Gerak jatuh bebas dapat diartikan dengan gerakan suatu benda dari keadaan diam kemudian dilepaskan sehingga mendapat percepatan gravitasi dan kecepatan awal nol. Anggaplah suatu benda dengan massa m yang jatuh secara vertikal diperngaruhi hanya oleh gravitasi dan suatu hambatan udara yang proporsional terhadap kecepatan benda tersebut. asumsikan bahwa gravitasi dan massa tetap (konstan) untuk kemudahan tentukan arah ke bawah sebagai arah positif (karena searah dengan percepatan gravitasi).

Hukum II Newton: Gaya neto yang bekerja pada benda sebanding dengan laju perubahan momentum benda tersebut; atau, untuk massa konstan,

dimana F adalah gaya netto pada benda dan v adalah kecepatan benda keduanya pada waktu t.

Untuk soal yang dihadapi ini, ada dua gaya yang beraksi pada benda; (1) gaya gravitasi karena berat benda w, yang sama dengan mg, dan (2) gaya karena hambatan udara –kv, dengan ­k ³ 0 adalah suatu konstanta proporsionalitas. Tanda minus diperlukan karena gaya ini melawan keceapatan; artinya, gaya ini bekerja ke arah atas, atau negatif. Dengan demikian, gaya netto F pada benda adalah F=mg–kv. Dengan memasukan nilai ini kedalam persamaan Newton, kita memperoleh

,  atau

sebagai persamaan gerak benda.

Jika hambatan udara dapat diabaikan atau tidak ada, maka k = 0 sehingga persamaan diatas disederhanakan menjadi

Ketika k > 0, kecepatan limit didefinisikan oleh

5. Momentum dan Impuls

1.      Momentum

Momentum sebuah partikel didevinisikan sebagai hasil kali massa dengan kecepatannya:

Momentum adalah besaran vektor. Momentum sebuah partikel dapat dipandang sebagai ukuran kesulitan untuk mendiamkan sebuah partikel. Hukum kedua Newton dapat ditulis dalam kaitannya dengan momentum partikel. Dengan mendifferensialkan persamaan di atas, kita mendapatkan

Dengan mensubtitusikan gaya  untuk ma didapatkan

Jadi gaya netto yang bekerja pada partikel sama dengan laju perubahan momentum linier partikel terhadap waktu. Pernyataan Newton yang asli tentang hukumnya yang kedua sebenarnya adalah dalam bentuk ini.

Untuk sistem partikel banyak momentum total sistem P adalah jumlah momentum masing-masing partikel.

2.      Impuls

Impuls I dari gaya adalah vector yang didefisikan oleh

Dengan menganggap bahwa F adalah gaya netto dan dengan menggunakan hukum kedua Newton  kita dapat melihat bahwa impuls sama dengan perubahan momentum total selama selang waktu itu

6. Kerja

Kita sekarang akan menggunakan sebuah penggunaan integral tertentu, yang tidak menyangkut panjang, luas atau volume. Dalam fisika kita tahu bahwa jika suatu benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis, sedangkan ada gaya F yang konstan yang menggerakan benda itu dengan arah yang sama dengan arah gerak benda tersebut, maka kerja W yang dilakukan oleh benda tadi adalah :

Andaikan digerakan sepanjang sumbu x dari titik x = a ke titik x = b. Andaikan gaya yang menggerakan benda yang berada di x adalah F(x) dengan F sebuah fungsi yang kontinu. Untuk mendapatkan besar kerja yang dilakukan kita gunakan metode potong-potong, aprodsimasi, pengintegrala. Dalam hal ini, kita harus mengartikan potong-potong sebagai mempartisikan selang [a,b] menjadi selang-selang bagian, aproksimasi disini berarti bahwa pada selang [x, x+ Dx]; gaya konstan dengan nilai F(x) sehingga kerja yang dilakukan adalah F(x)Dx, integralkan berarti jumlahkan semua kerja pada masing-masingdan kemudian ditarik limitnya dengan membuat menuju nol.

Dengan demikian dapatlah kita simpulkan kerja yang dilakukan untuk menggerakan benda dari a ke b adalah

Mialkan kerja pada pegas, dengan menggunakan Hukum Hook yang berlaku dalam fisika, gayayang diperlukan untuk menarik/menekan pegas sejauh x satuan dari keadaan alami adalah

Di sini, k konstanta dan disebut sebagai konstanta pegas, k adalah positif dan tergantung pada sifat sifat pegas itu. Makin keras pegas makin besar nilai k.

Kerja yang dilakukannya adalah